Ebenen

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• Schnittpunkt zwischen Ebenen und Geraden
• Parameterform zu Normalenform

Darstellungsformen

Paramtergleichung einer Ebene

Parameterform von Ebenen

$$\begin{array}{rlr}E& :\vec{x}=\vec{a}+\lambda \vec{u}+\mu \vec{v};& \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\vec{a}& :Verankerungsvektor\\ \vec{u},\vec{v}& :Richtungsvektoren\end{array}$$

Beispiel: Umrechnung zur Normalenform

$$\begin{array}{rl}E& :\vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -4\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)|\ast \vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 7\end{array}\right)\\ & ⟺\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 7\end{array}\right)\ast \vec{x}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 7\end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -4\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)\right]\\ & ⟺\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 7\end{array}\right)\ast \vec{x}=20\end{array}$$Link zum Original

Koordinatenform einer Ebene

Koordinatenform einer Ebene

Koordinatenform einer Ebene

Erstes Beispiel

$$\begin{array}{rlr}E& :\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)\vec{x}-10& =0\\ E& :3x+4y+5z& =10\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}oben& :Normalenfom\\ unten& :Koordinatenform\end{array}$$

Zweites Beispiel

$$\begin{array}{rlr}E& :-5x+z& =28\\ E& :\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 1\end{array}\right)\vec{x}-28& =0\end{array}$$Link zum Original

Normalenform von Ebenen

Normalenform von Ebenen

Normalenform von Ebenen

$$\begin{array}{rlr}E& :\left(\left(\begin{array}{c}{x}_x\\ x_y\\ x_z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right)\right)\ast \left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)& =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\vec{p}& :Ortsvektor\\ \vec{n}& :Normalenvektor\end{array}$$

Zusammenfassung:

$$\begin{array}{r}\vec{n}\ast \vec{x}-\vec{n}\ast \vec{a}=0\\ n\ast (\vec{x}-\vec{a})=0\end{array}$$

Geometrische Bedeutung von $\vec{n}\ast \vec{x}-\vec{n}\ast \vec{a}=0$

Da $(\vec{x}-\vec{a})$ in der Ebene liegt, gilt:

$$\begin{array}{r}\vec{n}\perp (\vec{x}-\vec{a})\\ ⟺\vec{n}\ast (\vec{n}-\vec{a})=0\end{array}$$

Normalenform zu Koordinatenform

Um die Koordinatenform aus der Normalenform zu errechnen errechnet man das Skalarprodukt.

$$\begin{array}{rl}E:& \left((x_x-p_x)\ast n_x\right)+\left((x_y-p_y)\ast n_y\right)+\left((x_z-p_z)\ast n_z\right)=0\end{array}$$

Beispiel

$$\begin{array}{rlr}E:& \left(\left(\begin{array}{c}{x}_x\\ x_y\\ x_z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)\right)\ast \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)& =0\\ & & \\ E:& ((x_x-2)\ast 3)+((x_y+2)\ast 0)+((x_z-1)\ast 4)& =0\\ \Rightarrow & 3x_x-6+4x_z-4& =0\\ \nRightarrow & 3x_x+4x_y& =10\end{array}$$

Koordinatenform zu Normalenform

Um von der Koordinatenform zur Normalenform zu gelangen, muss man den Normalenvektor ablesen und einen beliebigen Punkt der Ebene wählen.

Beispiel

Der Punkt $P_1(0|0|2,5)$ liegt auf der Ebene aus dem ersten Beispiel.

$$\begin{array}{rlr}E& :\left(\left(\begin{array}{c}{x}_x\\ x_y\\ x_z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2,5\end{array}\right)\right)\ast \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)& =0\end{array}$$

Warnung

Es gibt keine Normalenform einer Geraden.

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Schnittpunkt zwischen Ebenen und Geraden

Schnittpunkte zwischen Ebenen und Geraden

Im ${\mathbb{R}}^3$ sind eine Gerade und eine Ebene echt parallel zueinander, wenn sie sich nicht schneiden.

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