Ableitung von Umkehrfunktionen

4.

Ableitung von $\sqrt{x}$, $\ln x$ und $\arctan x$, ..? Ansatz:

$$\begin{array}{rl}f(\overline{f}(\overline{x}))& =\overline{x}\\ f^{\prime }(\overline{f}(\overline{x}))\ast f^{\prime }(\overline{x})& =1\iff {\overline{f}}^{\prime }(\overline{x})=\frac{1}{f(\overline{f}(\overline{x}))}\end{array}$$

Bsp.:

$$\begin{array}{rlr}f(x)& =x^2=f(x)=2x\text{ | }\overline{f}(\overline{x})& =\sqrt{\overline{x}}\\ {\overline{f}}^{\prime }(\overline{x})& =\frac{1}{2\sqrt{\overline{x}}}& \end{array}$$ $$\begin{array}{rlr}\overline{f}(\overline{x})& =\arctan \overline{x};f(x)& =\tan x\\ {\overline{f}}^{\prime }(\overline{x})& =\frac{1}{1+{\tan }^2\arctan \overline{x}}& =\frac{1}{1+{\overline{x}}^2}\end{array}$$