🗺️ Grundlagen

Inhalt:

• Linearkombination
• Vektorsubtraktion
• Skalarprodukt
• Betrag eines Vektors
• Vektorprodukt

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Linearkombination

Linearkombination (Vektoraddition)

Linearkombination (Vektoraddition)

$$\begin{array}{r}a\ast \vec{v}+b\ast \vec{w}=\left(\begin{array}{c}a\ast v_x+b\ast w_x\\ a\ast v_y+b\ast w_y\end{array}\right)\end{array}$$

Die Spann von $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen. $a\vec{v}+b\vec{w}$

Spezielfälle

1. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn ihre Pfeile parallel sind.
2. Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn ihre Pfeile auf einer Ebene liegen.

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Vektorsubtraktion

Vektorsubtraktion

Vektorsubtraktion

$$\vec{a}-\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x-b_x\\ a_y-b_y\\ a_z-b_z\end{array}\right)$$Link zum Original

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Skalarprodukt

$$\vec{a}\ast \vec{b}=a_x\ast b_x+a_y\ast b_y+a_z\ast b_z$$

Herausfinden ob ein Vektor ortagonal ist

Tipp

Wenn beim Skalarprodukt zweier vom Nullvektor unterschiedlichen Vektoren das Ergebnis $\vec{a}\ast \vec{b}=0$ herauskommt, stehen die beiden Vektoren senkrecht (ortagonal) aufeinander.

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Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektor

Für den Betrag von $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ gilt:

$$|\vec{a}|=|\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$Link zum Original

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Vektorprodukt: Was ist das?

Die Addition, Subtraktion und das Skalarprodukt in Bezug auf die Vektorrechnung haben wir bereits in vorigen Artikeln erklärt. Als nächstes sehen wir uns das Vektorprodukt / Kreuzprodukt näher an. Folgende Punkte sind hierbei interessant:

1. Bei einem Vektorprodukt zweier Vektoren entsteht ein neuer Vektor
2. Dieser Vektor steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren und
3. ist ein Normalenvektor der von den Ausgangsvektoren aufgespannten Ebene und
4. Der Betrag dieses Vektors ist ein Maß für die Fläche des aufgespannten Parallelogramms

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_z\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-a_y{b}_x\end{array}\right)$$Link zum Original

Lineare Unabhängigkeit

lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn man eine Linearkombination (Vektoraddition) von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial¹ ist.

Geht das nicht sind die Vektoren linear unabhängig

$$\begin{array}{rl}a\vec{v}+b\vec{w}+c\vec{u}& =\vec{0}\\ a=b=c& =0\end{array}$$

Footnotes

1. Trivial wäre alle Vektoren mit $0$ zu skalieren ↩

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Basisvektoren

Basisvektoren

${\vec{e}}_x$ und ${\vec{e}}_y$ sind die Basisvektoren eines xy-Koordinatensystems. Skaliert können sie jeden anderen Vektoren dieses Koordinatensystems ergeben.

Jede Koordinate ist ein Skalar.

Basis

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