🗺️ Integralrechnung

Berechnung eines Intervalls

Sei $I(x)={\int }_0^{x}f(\psi )d\psi$ die Integralfunktion von $f$ in $[0;x]$ (also die Funktion, die jeder Zahl $x$ den Flächeninhalt zwischen Graph von $f$ und $x$ Achse im Intervall $[0;x]$ zuordnet). Dann ist $I$ eine Stammfunktion von $x$.

Beweis:

$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{I(x+h)-I(x)}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x+h}f(\psi )d\psi -{\int }_0^{x}f(\psi )d\psi }{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x+h}f(\psi )d\psi }{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\ast f(a)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }f(a)=f(x)\end{array}$$

$a\in [x;x+h]$, sodass das Rechteck den selben Flächeninhalt hat

Stammfunktionen bestimmter Funktionen Partielle Integration