🗺️ Umkehrfunktion

$f(x)=x^2$ oder f: {R → R x → x²}

Definition

Eine Funktion $f^{-1}$ oder $f\_$ heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle $x\in A$ gilt: $f(f(x))=x$

1. Wann gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion?
2. Wie sieht’s graphisch aus?
3. Wie lautetet die Funktionsgleichung?
4. Ableitung?

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1.

Eine Funktion $f:A->B$ ist umkehrbar, wenn jedes Element aus $B$ genau einmal getroffen wird, sie also bijektiv ist. Langform:

• $f$ heißt injektiv, wenn $\forall xy\in A:f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ ¹
• $f$ heißt surjektiv, wenn $\forall xy\in B\exists A:f(x)=y$² (Keiner bleibt übrig)
• $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist. bzw. $\forall y\in B\exists !x\in A:f(x)=y$ ³

  Umkehrfunktion - Graph

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  title: 
  xLabel: 
  yLabel: 
  bounds: [-10,10,-10,10]
  disableZoom: false
  grid: true
  ---
  f1(x) = x
  f2(x) = x^2
  f3(x) = x^3
  f3(x) = sin(x)
  f4(x) = log(x)
  f5(x) = E^x
  f6(x) = 4*1/(1+ E^(-1*4*t)(4/0 - 1))

  Link zum Original

• f1: $f(x)=x^3$
• f2 $f(x)=x$
• f3: $f(x)=e^x$ $y>0$
• f4: $f(x)=\sin (x)$: für $[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{2}]$
• f5
• f6: $fx)=x^2$: für $x>0$

2.

Footnotes

1. : $\forall$: für Alle ↩

2. : $\exists$: Existiert ↩

3. : $\exists !$ genau ein ↩